Factorizar polinomios al sacar un factor común

La propiedad distributiva: $a(b+c)=ab+ac$a, left parenthesis, b, plus, c, right parenthesis, equals, a, b, plus, a, c

Para entender cómo sacar factores comunes, debemos entender la propiedad distributiva.

Por ejemplo, podemos usar la propiedad distributiva para encontrar el producto de $3x^2$3, x, squared y $4x+3$4, x, plus, 3 como se muestra a continuación:

3x2(4x+3)=3x2(4x)+3x2(3)

Observa que cada término en el binomio se multiplicó por un factor común de $\tealD{3x^2}$start color #01a995, 3, x, squared, end color #01a995.

Sin embargo, como la propiedad distributiva es una igualdad, ¡el opuesto de este proceso también es correcto!

$\Large\tealD{3x^2}({4x})+\tealD{3x^2}({3})=\tealD{3x^2}({4x}+{3})$

Si comenzamos con $3x^2(4x)+3x^2(3)$3, x, squared, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, 3, x, squared, left parenthesis, 3, right parenthesis, podemos usar la propiedad distributiva para factorizar $\tealD{3x^2}$start color #01a995, 3, x, squared, end color #01a995 y obtener $3x^2(4x+3)$3, x, squared, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis.

La expresión resultante está en forma factorizada porque está escrita como un producto de dos polinomios, mientras que la expresión original es una suma de dos términos.

Factorizar el máximo común divisor (MCD)

Para factorizar el MCD del polinomio, haz lo siguiente:

1. Encuentra el MCD de todos los términos en el polinomio.
2. Expresa cada término como un producto del MCD y otro factor.
3. Usa la propiedad distributiva para factorizar el MCD.

Vamos a factorizar el MCD de $2x^3-6x^2$2, x, cubed, minus, 6, x, squared.

Paso 1: encuentra el MCD

• $2x^3=\maroonD2\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot x$2, x, cubed, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, x
• $6x^2=\maroonD2\cdot 3\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}$6, x, squared, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, 3, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10

Así que el MCD de $2x^3-6x^2$2, x, cubed, minus, 6, x, squared es $\maroonD2 \cdot \goldD x \cdot \goldD x=\tealD{2x^2}$start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, equals, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995.

Paso 2: expresa cada término como un producto de $\tealD{2x^2}$start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995 y otro factor.

• $2x^3=(\tealD{2x^2})({x})$2, x, cubed, equals, left parenthesis, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis
• $6x^2=(\tealD{2x^2})({3})$6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis

$(\tealD{2x^2})$left parenthesis, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, right parenthesis

• $\dfrac{2x^3}{\tealD{2x^2}}={x}$start fraction, 2, x, cubed, divided by, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, end fraction, equals, x
• $\dfrac{6x^2}{\tealD{2x^2}}=3$start fraction, 6, x, squared, divided by, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, end fraction, equals, 3

• $2x^3=\maroonD2\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot x$2, x, cubed, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, x
• $6x^2=\maroonD2\cdot 3\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}$6, x, squared, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, 3, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10

Así que el polinomio se puede escribir como $2x^3-6x^2=(\tealD{2x^2})( x)-(\tealD{2x^2}) ( 3)$2, x, cubed, minus, 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.

Paso 3: factoriza el MCD

Ahora podemos aplicar la propiedad distributiva para factorizar $\tealD{2x^2}$start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995.

$\Large(\tealD{2x^2})( x)-(\tealD{2x^2}) ( 3)=\tealD{2x^2}( x- 3)$

Verificar nuestro resultado

Podemos revisar nuestra factorización al multiplicar $2x^2$2, x, squared de regreso en el polinomio.

2x2(x−3)=(2x2)(x)−(2x2)(3)=2x3−6x2

Como esto es lo mismo que el polinomio original, ¡nuestra factorización es correcta!

Si te sientes cómodo con el proceso de factorizar el MCD, puedes usar un método más rápido:

Una vez que conocemos el MCD, la forma factorizada es simplemente el producto de ese MCD y la suma de los términos en el polinomio original dividido entre el MCD.

Ve, por ejemplo, cómo usamos este método rápido para factorizar $5x^2+10x$5, x, squared, plus, 10, x, cuyo MCD es $\tealD{5x}$start color #01a995, 5, x, end color #01a995:

$5x^2+10x=\tealD{5x}\left(\dfrac{5x^2}{\tealD{5x}}+\dfrac{10x}{\tealD{5x}}\right)=\tealD{5x}(x+2)$5, x, squared, plus, 10, x, equals, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, left parenthesis, start fraction, 5, x, squared, divided by, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, end fraction, plus, start fraction, 10, x, divided by, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, end fraction, right parenthesis, equals, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis

Factorizar factores binomiales

El factor común en un polinomio no tiene que ser un monomio.

Por ejemplo, considera el polinomio $x(2x-1)-4(2x-1)$x, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis.

Observa que el binomio $\tealD{2x-1}$start color #01a995, 2, x, minus, 1, end color #01a995 es común a ambos términos. Podemos factorizar esto usando la propiedad distributiva:

$\Large{x}(\tealD{2x-1})-{4}(\tealD{2x-1})=(\tealD{2x-1})({x}-{4})$

Diferentes tipos de factorizaciones

Puede parecer que hemos usado el término "factor" para describir varios procesos diferentes:

• Factorizamos monomios al escribirlos como un producto de otros monomios. Por ejemplo, $12x^2=(4x)(3x)$12, x, squared, equals, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, right parenthesis.
• Factorizamos el MCD de polinomios usando la propiedad distributiva. Por ejemplo, $2x^2+12x=2x(x+6)$2, x, squared, plus, 12, x, equals, 2, x, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis.
• Factorizamos factores binomiales comunes que resultaron en una expresión igual al producto de dos binomios. Por ejemplo $x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2)$x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, plus, 2, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis.

Aunque hayamos podido usar diferentes técnicas, lo que hicimos en cada caso fue escribir el polinomio como un producto de dos o más factores. Así que en los tres ejemplos, factorizamos el polinomio.

Tarea: Tomar nota, resolver los siguiente ejercicios en el cuaderno.

1) Escribe los siguientes ejercicios2, x, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, plus, 2, x, left parenthesis, 5, right parenthesis en forma factorizada.

$$
2x(3x)+2x(5)

b)    x(a+b) + m(a+b)

c)    a(x+1)+b(x+1)

2) Factoriza el máximo común divisor en $12x^2+18x$12, x, squared, plus, 18, x.

3) Factoriza el máximo común divisor en el siguiente polinomio.

$10x^2+25x+15 =$10, x, squared, plus, 25, x, plus, 15, equals 

4) Factoriza el máximo común divisor en el siguiente polinomio.

$x^4-8x^3+x^2=$

5) Factoriza el máximo común divisor en el siguiente polinomio.

$2x(x+3)+5(x+3)=$

2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, plus, 5, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals