..Factorización de una diferencia de cuadrados..

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Diferencia de cuadrados

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

Al estudiar los Producto Notable teníamos que:

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capítulo es el caso contrario:

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.

Pasos a seguir para calcula la diferencia de cuadrados:

1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.

2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).

Factorización de una diferencia de cuadrados

La factorización de una diferencia de cuadrados está formada por una ecuación con dos términos: uno positivo y el otro, negativo. Ambos deben de ser raíces cuadradas exactas. Y lo que se hace es realizar una resta entre ellos. De ahí el nombre de factorización por diferencia de cuadrados.

Ejemplos de diferencias de cuadrados

¿Tienes claro ya qué es una diferencia de cuadrados? ¡Te dejamos aquí otros ejemplos para que lo tengas más claro!

Patrón de diferencia de cuadrados

Cada polinomio que sea una diferencia de cuadrados se puede factorizar al aplicar la siguiente fórmula:

$\blueD{a}^2-\greenD{b}^2=(\blueD a+\greenD b)(\blueD a-\greenD b)$start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis

Observa que, en el patrón, $a$a y $b$b pueden ser una expresión algebraica. Por ejemplo, para $a=x$a, equals, x y $b=2$b, equals, 2, obtenemos lo siguiente:

$\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}$

El polinomio $x^2-4$x, squared, minus, 4 ahora se expresa en forma factorizada, $(x+2)(x-2)$left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis. Podemos desarrollar el lado derecho de esta ecuación para justificar la factorización:

$\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}$

Ahora que entendimos el patrón, usémoslo para factorizar más polinomios.

Ejemplo 1: factorizar $x^2-16$x, squared, minus, 16

Tanto $x^2$x, squared como $16$16 son cuadrados perfectos, ya que $x^2=(\blueD{x})^2$x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared y $16=(\greenD{4})^2$16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. En otras palabras:

$x^2-16 =(\blueD {x})^2-(\greenD{4})^2$x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared

Como los dos cuadrados se están restando, podemos ver que este polinomio representa una diferencia de cuadrados. Podemos usar el patrón de diferencia de cuadrados para factorizar esta expresión:

$\blueD{a}^2-\greenD{b}^2=(\blueD a+\greenD b)(\blueD a-\greenD b)$start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis

En nuestro caso, $\blueD a=\blueD x$start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd y $\greenD b=\greenD 4$start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Por lo tanto, nuestro polinomio se factoriza así:

$(\blueD{x})^2-(\greenD{4})^2=(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)$

Ejemplo 2: factorizar $4x^2-9$4, x, squared, minus, 9

El coeficiente principal no tiene que ser igual a $1$1 para usar el patrón de la diferencia de cuadrados. ¡De hecho, el patrón de la diferencia de cuadrados se puede usar en este caso!

La razón es que $4x^2$4, x, squared y $9$9 son cuadrados perfectos, pues $4x^2=(\blueD{2x})^2$4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared y $9=(\greenD{3})^2$9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Podemos usar esta información para factorizar el polinomio usando el patrón de la diferencia de cuadrados:

$\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-(\greenD{3})^2\\ \\ &=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}$

$Tarea:copiar\; el\; concepto\; base\; en\; su\; cuaderno\; y\; como$
$minimo\; copiar$4 ejemplos del tema (Videos y concepto escrito), 
resolver los siguientes problemas de factorización.